本题是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点.试题难度不大,需要注意的是(3)①问中,需要注意在自变量取值区衫盯间上求最大值,而不能机械地套用公式
(1)利用交点式求出抛物线的解析式;
(2)证明四边形POQC是平行四盯塌竖边形,则结论得证;
(3)①求出△AMN面积的表达式,利用二次函数的性质,求出△AMN面积最大时t的值.注意:由于自变量取值范围的限制,二次函数并不是在对称轴处取得最大值;
②直线PQ上的点到∠AQC两边的距离相等,则直线PQ能平分∠AQC,所以直线PQ能垂直平分线段MN.
解答:(1)解:设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x+1),
∵抛物线凯大经过点C(0,3),
∴3=a×3×1,解得a=1.
∴抛物线的解析式为:y=(x+3)(x+1)=x2+4x+3.
(2)证明:在抛物线解析式y=x2+4x+3中,当x=-4时,y=3,∴P(-4,3).
∵P(-4,3),C(0,3),
∴PC=4,PC∥x轴.
∵一次函数y=kx-4k(k≠0)的图象交x轴于点Q,当y=0时,x=4,
∴Q(4,0),OQ=4.
∴PC=OQ,又∵PC∥x轴,
∴四边形POQC是平行四边形,
∴∠OPC=∠AQC.
(3)解:①在Rt△COQ中,OC=3,OQ=4,由勾股定理得:CQ=5.
如答图1所示,过点N作ND⊥x轴于点D,则ND∥OC,
∴△QND∽△QCO,
∴
ND
OC
=
NQ
CQ
,即
ND
3
=
5−t
5
,解得:ND=3-
3
5
t.
设S=S△AMN,则:
S=
1
2
AM•ND=
1
2
•3t•(3-
3
5
t)=-
9
10
(t-
5
2
)2+
45
8
.
又∵AQ=7,∴点M到达终点的时间为t=
7
3
,
∴S=-
9
10
(t-
5
2
)2+
45
8
(0<t≤
7
3
).
∵-
9
10
<0,
7
3
<
5
2
,且x<
5
2
时,y随x的增大而增大,
∴当t=
7
3
时,△AMN的面积最大.
②假设直线PQ能够垂直平分线段MN,则有QM=QN,且PQ⊥MN,PQ平分∠AQC.
由QM=QN,得:7-3t=5-t,解得t=1.
设P(x,x2+4x+3),
若直线PQ⊥MN,则:过P作直线PE⊥x轴,垂足为E,
则△PEQ∽△MDN,
∴
PE
EQ
=
MD
DN
,
∴
x2+4x+3
4−x
=
4
5
12
5
∴x=
−13±
109
6
,
∴P(
−13+
109
6
,
34+
109
18
)或(
−13−
109
6
,
34−
109
18
)
∴直线PQ能垂直平分线段MN.
问这题的意义何在?