已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a、b、c∈R），且函数f（x）的图象关于原点对称，其图象x=3处的切线方程

（1）∵f （x）的图象关于原点对称，∴f （-x）+f （x）=0恒成立，
即2bx²+2d≡0，∴b=d=0．
又f （x）的图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，即y-6=8（x-3），
∴f'（3）=8，且f （3）=6．
而f （x）=ax³+cx，∴f'（x）=3ax²+c．

f′(3)＝27a+c＝8 f(3)＝27a+3c＝6

解得

a＝ 1 3 c＝?1.

，
故所求的解析式为f （x）=

1

3

x3?x．
（2）由

y＝ 1 3 x3?x y＝x

解得x=0或x=±

6

．
又由f'（x）=0，得x=±1，
且当x∈[?

6

，?1)或x∈(1，

6

]时，f'（x）＞0；
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0．
所以，函数f （x）在[-

6

，-1]和[1，

6

]上分别递增；在[-1，1]上递减．
于是，函数f （x）在[-

6

，

6

]上的极大值和极小值分别为f （-1）=

2

3

，f （1）=-

2

3

．
而-

6

＜-

2

3

＜

2

3

＜

6

，
故存在这样的区间[a，b]，其中满足条件的一个区间为[-

6

，

6

]．
（3）由（2）知f'（x）=x²-1，所以，有a_n+1≥（a_n+1）²-1．
而函数y=（x+1）²-1=x²+2x在[1，+∞）上单调递增，
所以，由a₁≥1，可知a₂≥（a₁+1）²-1≥2²-1；
进而可得a₃≥（a₂+1）²-1≥2³-1；…
由此猜想a_n≥2ⁿ-1．
下列用数学归纳法给出证明：
①当n=1时，a₁≥1=2¹-1，结论成立．
②假设n=k时有a_k≥2^k-1，
则当n=k+1时，由于函数f （x）=x²+2x在[1，+∞）上递增，可知，
a_k+1≥（a_k+1）²-1≥（2^k-1+1）²-1=2^2k-1≥2^k+1-1，
即n=k+1时，结论也成立．
所以，对任意的n∈N^*都有a_n≥2ⁿ-1，即1+a_n≥2ⁿ，

1

1+an

＜

1

2n

从而

1

1+a1

+

1

1+a2