解答：（1）解：当b=0，c=1时，f（x）=ax2+lnx，
x＞0，f′(x)＝2ax+=，
当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无减区间；
当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞或x＜-（舍），
由f′（x）＜0，得0＜x＜，
∴f（x）的减区间是（0，），增区间是（，+∞）．
（2）①解：f′(x)＝2ax+b+，
由题得
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| f(1)＝a+b＝0 |
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f′(1)＝2a+b+c＝3 |
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，
此时f（x）=ax2-ax+（3-a）lnx，
f′(x)＝2axa+=，
由f（x）无极值点且f′（x）存在零点，
得a2-8a（3-a）=0，a＞0，
解得a=，于是b=-，c=-．
②证明：由①知f′(x)＝，x＞0，
要使函数f（x）有两个极值点，
只要方程2ax2-ax+3-a=0有两个不等正根，
那么实数a应满足，解得＜a＜3，
设两正根为x1，x2，且x1＜x2，
可知当x=x2时有极小值f（x2），
其中这里0＜x1＜，
由于对称轴为x=，所以＜x2＜，
且2ax22-ax2+3-a=0，得a=，
记g（x）=x2-x-lnx，（＜x≤1），
有g′(x)＝≤1，对x∈（，1]恒成立，
又g（1）=0，故对x∈（，）恒有g（x）＞g（1），即g（x）＞0，
所以有f(x2)＝ax22?ax2+(3?a)lnx2
=a（x22-x2-lnx2）+3lnx2=+lnx2-，（＜x2＜），
而f′(x2)＝
| (4x2?1)(x22?x2?lnx2) |
| (2x22?x2?1)2
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