高数问题（2）

4、
lim (-x^6/2) / (ln(1+x^3)-x^3)
换元，t=ln(1+x^3)，x^3=e^t-1
=lim(t→0) -(e^t-1)^2/2 / (t-e^t+1)
该极限为0/0型，利用L'Hospital法则
=lim -(e^t-1)(e^t) / 1-e^t
=lim e^t
=1

5、
x→∞
lim arcsin((x^2+x)^(1/2)-x)
=lim arcsin[ ((x^2+x)^(1/2)-x)((x^2+x)^(1/2)+x)/((x^2+x)^(1/2)+x) ]
=lim arcsin[ x / ((x^2+x)^(1/2)+x) ]
=arcsin[ lim x / ((x^2+x)^(1/2)+x) ]
=arcsin (1/2)
=π/6

6、
x→0
lim (e^x-e^sinx)/[(x+x^2)*ln(1+x)*arcsinx]
利用等价无穷小：ln(1+x)~x，arcsinx~x
=lim (e^x-e^sinx)/(x^3+x^4)
该极限为0/0型，利用L'Hospital法则(要用4次，分子比较复杂，原谅我偷懒……)
=1/6
（不是π/6，除非题目打错，或我理解错题意了）

7、
x→0
lim((2/π)*arctanx)^x
=lim e^ln ((2/π)*arctanx)^x
=e^ lim ln ((2/π)*arctanx)^x
考虑
lim ln ((2/π)*arctanx)^x
=lim x*ln(2/π) + x*lnarctanx
=lim x*ln arctanx
=lim (ln arctanx) / (1/x)
该极限为∞/∞型，利用L'Hospital法则
=lim (1/arctanx)*(1/(1+x^2)) / (-1/x^2)
=lim x^2 / (1+x^2)arctanx
=0
故原极限=e^0=1
（不是e^(-2/π) ，这个是x趋于无穷的极限，不是趋于0的极限）

有不懂欢迎追问

太不清楚了