（2014?长春三模）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D

解：（1）取BC中点为N，连结MN，C₁N，…（1分）
∵M，N分别为AB，CB中点
∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴A₁，M，N，C₁四点共面，…（3分）
且平面BCC₁B₁∩平面A₁MNC₁=C₁N
又DE?平面BCC₁B₁，且DE∥平面A₁MC₁
∴DE∥C₁N
∵D为CC₁的中点，
∴E是CN的中点，…（5分）
∴

CE

EB

＝

1

3

．                                                 …（6分）
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，
又AC⊥AB，则AC⊥平面ABB₁A₁
设AB=2AA₁=2，又三角形A₁MC₁是等腰三角形，所以A1M＝A1C1＝

2

．
如图，将几何体AA₁M-CC₁N补成三棱柱AA₁M-CC₁F
∴几何体AA₁M-CC₁N的体积为：V1＝

1

2

?AM?AA1?AC?

1

3

?

1

2

?CF?CC1?NF＝

1

2

×1×1×

2

?

1

3

×

1

2

×1×1×

2

2

＝

5 2

12

…（9分）
又直三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积为：V＝

1

2

×