sinx 与（sinx）^2和（sinx）^3……0到π⼀2的定积分

设f(n)=∫(sinx)^ndx

用分部积分求∫(sinx)^ndx不定积分，可以推到出下面公式。
∫(sinx)^ndx=-(sinx)^(n-1)*cosx+(n-1)*∫(sinx)^(n-2)dx)/n

因为-(sinx)^(n-1)*cosx|（0到π/2）
=-(sin(π/2))^(n-1)*cos(π/2)+(sin0)^(n-1)*cos0
=0
所以有
f(n)=∫(sinx)^ndx
=(n-2)/n*∫(sinx)^(n-2)dx)
=(n-2)/n*f(n-2)

因为f(1)=∫(sinx)dx=1 (其中积分均为0到π/2的定积分）
f(0)=∫dx=π/2 (其中积分均为0到π/2的定积分）

所以有递推公式，

f(n)=((n-1)/n)*((n-3)/(n-2))*((n-5)/(n-4))*....*(4/5)*(2/3)(n为大于1的正奇数）

f(n)=((n-1)/n)*((n-3)/(n-2))*((n-5)/(n-4))*....*(3/4)*(1/2)(π/2）(n为正偶数）

sinx: -cosx|(π/2,0)=-1

(sinx)^2=(1/2)(1-cos2x): (1/2)*(π/2)+(1/2)sin2x|(π/2,0)=π/4

(sinx)^3dx=-(sinx)^2dcosx=-(1-(cosx)^2)dcosx: 设t=cosx
-t+(1/3)t^3|(0,1)=1-1/3=2/3

这里是递推得到的通项公式：
n=2k+1时 为 （2k)!!/(2k+1)!!
n=2k时 为 [（2k-1)!!/(2k)!!]（π/2）

（sinx）^n 0到π/2的定积分
n=1,2,3,...10对应的结果为：{1,Pi/4,2/3,3*Pi/16,8/15,5*Pi/32,16/35,35*Pi/256,128/315,63*Pi/512}

n=1时 为-1
若n>=2
n=2k+1时 为 （2k)!!/(2k+1)!!
n=2k时 为 （2k-1)!!/(2k)!! * pai/2

-1