数学建模问题；9个人的集会中一定有3个人互相认识或4个人互相不认识.

给你简单说一下：

引理：任意6个人的集会总一定有3个互相认识或3个互相不认识。

这个的证明我就不说了，太有名了，证明到处都是。简单说，就是某一个人A，如果认识》=3个人，那么这3个人一旦有认识，加上A就是3个认识的人，要么都不认识，那么这是3个互相不认识的人。同理，如果不认识》=3个人，完全一样推理。因为对6个人里的任何一个人，要么认识》=3个人，要么不认识》=3个人，这样引理就证明完毕了。

下面回到主题，讨论9个人里的某个人A的认识人的数目。

如果有某个人A不认识》=6个人，那么由引理，这6个人里有3个互相认识或3个互相不认识。如果是前一种情况，那么就找到了3个互相认识。如果是后一种情况，那么加上A的话，找到了4个互相不认识的人。

如果有某个人A认识》=4个人，那个考虑那4个人，一旦有互相认识的一对儿，加上A，就是互相认识的3个人。如果互相都不认识，那么我们也找到了4个人互相不认识的人。

所以只剩一种情况没有被讨论过，就是每一个人都恰巧认识3个人，不认识其他5个人。那就很奇怪了，因为如果从双向算的话，有5×9=45个不认识的对（不计先后顺序），但是每个对应该出现2次，所以这个数其实应该是个偶数才对，这就矛盾了嘛（画个线段图，就很明显了，顶点度数和是线段数的2倍，必须是偶数）。所以，这9个人每人都恰巧认识3个人，不可能出现的，其实是个伪命题。

综上所述，我们已经讨论的所有的可能情况，都印证了命题的正确性，所以证明是无懈可击的。

这实际是一个图论问题，用9个点表示9个人，将9个点两两相连，构成一个9阶完全图。
若两人认识，则将两人间的连线染红，否则染蓝。
问题转化为证明用两种颜色对9阶完全图染色，则一定存在一个3阶完全子图，所有边都为蓝色，否则一定存在一个4阶完全子图，所有边都为红色。
建模的话，用计算机模拟染色，穷举法就可以了吧。
一则趣闻是，前两年本科生破解的那个西塔潘猜想，于此有关。