1、 A为n阶非零矩阵,A^5=0,A+E与A-E是否可逆 2、设n阶矩阵A(n>2),R(A)=n-2,则|2A+3A*|=

1 (A+E)(A^4-A^3+A^2-A+E)
=A^5-A^4+A^3-A^2+A+A^4-A^3+A^2-A+E=A^%+E=E
所以A+E可逆逆矩阵为A^4-A^3+A^2-A+E
(A-E)(A^4+A^3+A^2+A+E)
=A^5+A^4+A^3+A^2+A-A^4-A^3-A^2-A-E=A^5-E=-E
所以A-E可逆逆矩阵为A^4+A^3+A^2+A+E.
2.R(A)=n-2,所以所有n-1阶子式为0，因此A*=O
|2A+3A*|==|2A|=2^n|A|=0

1)A^5=0 说明E=E-A^5=（E-A）（E+A+A²+A³+A^4 ） 说明E-A可逆
类似可说明E+A可逆

2）R(A)=n-2 A不满秩，所以|A|=0 ,且A的任意一个(n-1)阶子式均为0
A*中每个元素均是A的(n-1)阶代数余子式，所以A*=0
|2A+3A*|=|2A|=2^n|A|=0

2:R(A)=n-2 A* =丨A丨 A^(-1)=0 带入得 丨2A+0丨=2^n 丨A丨 =0
1 :设A的特征值为a a^5=0 a= 0 所以 A-E 和A+E 的特征值为 -1 和1 特征值全不为0 所以可逆

1、
A^5=(A^5-A^4)+(A^4-A^3)+(A^3-A^2)+(A^2-A)+(A-E)+E=0
(A-E)(A^4+A^3+A^2+A+E)=-E
A-E可逆

A^5=(A^5+A^4)-(A^4+A^3)+(A^3+A^2)-(A^2+A)+(A+E)-E=0
(A+E)(A^4-A^3+A^2-A+E)=E
A+E可逆

2、
R(A)=n-2，说明A的列向量中有两列可以由剩余n-2列线性表示，也就是说其行列式经过变换后有两列全为0，所以A的任一n-1阶子式等于0，伴随矩阵A*=0
因此，|2A+3A*|=|2A|=0