求将矩阵变为对角矩阵的相似变换矩阵时,所求列向量(特征向量)的长度需要相同吗?

2025-04-10 05:27:27

推荐回答（4个）

回答1：

矩阵的对角化分相似对角化与正交对角化
分别对应可逆矩阵P,正交矩阵Q满足 P^-1AP,Q^-1AQ 为对角矩阵
相似对角化时, 重根的特征向量不必正交化与单位化(长度变1)
正交相似时, 重根的特征向量需要正交化与单位化

回答2：

矩阵酉相似于对角阵时特征向量需要对角化，即矩阵有n个两两正交单位特征向量等价于矩阵酉相似于对角阵；
若矩阵相似于对角矩阵，只需要n个线性无关的特征向量即可，即使出现重根也无所谓，需要注意的是，如果有重根，矩阵不一定能对角化。

回答3：

"特征方程出现重根时什么情况下对应的特征向量需要正交化"这问题问的，当你需要他们正交时，就是当你需要找到一组基去构造线型空间的时候

回答4：

求将矩阵变为对角矩阵的相似变换矩阵时,所求列向量(特征向量)的长度需要相同吗?
不需要。
特征方程出现重根时什么情况下对应的特征向量需要正交化?
并不是所有矩阵都可以对角化的，必须有n个线性无关特征向量才可对角化。而实对称矩阵必可对角化。