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x^p*e^(-x)(p>=0)从0到正无穷的积分是否收敛，如何证明?

急急急！若解不出这题，将产生蝴蝶效应，信不信由你。

2024-11-23 03:34:39

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回答1：

收敛。
容易知道:lim x^p * e^(-x)=0 (x趋近无穷大）
甚至 lim x^2 * x^p * e^(-x)=0 <1
由保号性，存在 M>0,使得 x>M 时,有：
x^2 * x^p * e^(-x) <1 ，即 x^p * e^(-x) < 1 / x^2
而 1 / x^2在[M,+无穷）上积分显然收敛
故 x^p * e^(-x)在[M,+无穷）上收敛。
x^p * e^(-x) 在[0，M]上积分存在。
最终，x^p * e^(-x)在[0，+无穷）上收敛。

回答2：

收敛
容易知道:lim
x^p
*
e^(-x)=0
(x趋近无穷大)
甚至
lim
x^2
*
x^p
*
e^(-x)=0
<1
由保号性存
M>0,使得
x>M
时,有:
x^2
*
x^p
*
e^(-x)
<1
即
x^p
*
e^(-x)
<
1
/
x^2
而
1
/
x^2[M,+无穷)上积分显收敛
故
x^p
*
e^(-x)[M,+无穷)上收敛
x^p
*
e^(-x)
[0M]上积分存
终x^p
*
e^(-x)[0+无穷)上收敛