f(x)=㏒a[x(㏒a(x)+㏒a(2)-1] 若f(x)在[½,2]上是增函数,求a的取值范围

显然a>0且a≠1
易知f(x)=loga(x)*[loga(x)+loga(2)-1]=[loga(x)]^2+[loga(2)-1]loga(x)
令t=loga(x)
令g(t)=t^2+[loga(2)-1]t
显然上述二次函数开口向上，对称轴t=[1-loga(2)]/2

若0则t=loga(x)为减函数
于是区间[1/2,2]上有loga(2)≤t≤loga(1/2)
要使f(x)在区间[1/2,2]上为增函数
由复合函数单调性原则（同增异减）
必有g(t)在区间[loga(2),loga(1/2)]上为减函数
则其对称轴必在区间[loga(2),loga(1/2)]的右侧
即有[1-loga(2)]/2≥loga(1/2)
即有loga(2)≥-1
即有loga(2)≥loga(1/a)
即有2≤1/a
即0
若a>1
则t=loga(x)为增函数
于是区间[1/2,2]上有loga(1/2)≤t≤loga(2)
要使f(x)在区间[1/2,2]上为增函数
由复合函数单调性原则（同增异减）
必有g(t)在区间[loga(1/2),loga(2)]上为增函数
则其对称轴必在区间[loga(1/2),loga(2)]的左侧
即有[1-loga(2)]/2≤loga(1/2)
即有loga(2)≤-1
因loga(2)>0（注意到a>1)
显然上式矛盾

所以满足条件的a的取值范围为(0,1/2]