191问答库 > 已知abc均为正数,且a的平方加b的平方等于c的平方。求证当n为整数且大于2时c的n次方大于a的n次方加b的

已知abc均为正数,且a的平方加b的平方等于c的平方。求证当n为整数且大于2时c的n次方大于a的n次方加b的

大于a的n次方加b的n次方……

2024-10-31 19:22:01

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回答1：

证明：已知：a>0,b>0,c>0; a^2+b^2=c^2，以a,b,c构成一个三角形，其为一个直角三角形。
a,b为三角形的两条直角边， c>a, c>b ,c为直角三角形的斜边。
i.当n=3,有：c^3=c(a^2+b^2)=ca^2+cb^2>a^3+b^3 ....(c>a,c>b)
ii.假设当n=k时，不等式c^k>a^k+b^k
iii.当n=k+1时，c^(k+1)=c*c^k>c(a^k+b^k)=ca^k+cb^k>a^(k+1)+b^(k+1)
即：当n=k+1时，c^(k+1)>a^(k+1)+b^(k+1)
根据归纳假设，当n=k时，结论成立，那n=k+1时，结论一定成立。
故：当n为整数且大于2时c的n次方大于a的n次方加b的n次方结论成立。