其实sin(x)^4 = 3/8-1/2·cos(2x)+1/8·cos(4x), 右端本身就是Fourier级数了.
问题出在n = 2时∫{-π,π} cos²(2x)dx = ∫{-π,π} (1+cos(4x))/2 dx = π.
n = 4时∫{-π,π} cos²(4x)dx = ∫{-π,π} (1+cos(8x))/2 dx = π.
从原理上可以理解: 1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x),...是一组正交基.
不同的项彼此正交(内积为0), 而每一项的长度非零(与自身的内积 > 0).
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