191问答库 > 已知数列an满足a1=1⼀4,an=[a(n-1)]⼀(-1)옂(n+1)3a(n-1)+2

已知数列an满足a1=1⼀4,an=[a(n-1)]⼀(-1)옂(n+1)3a(n-1)+2

(1) 求数列an通项公式an（2）设bn=1/an,求数列bn的前n项和Sn

2025-02-25 23:19:07

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回答1：

是an=a(n-1)/[(-1)^(n+1)·3a(n-1)+2]吧？！
(1) 由an=a(n-1)/[(-1)^(n+1)·3a(n-1)+2]取倒数，得
1/an=2/a(n-1)+(-1)^(n+1)·3，
两边除以2^n，并令cn=1/[(2^n)·an]，得cn-c(n-1)= -3(-1/2)^n，且c1=1/(2a1)=2，
迭加，得cn=c1+(c2-c1)+(c3-c2)+…+[cn-c(n-1)]=2-3[1/4-1/8+…+(-1/2)^n]=3/2-(-1/2)^n，
所以，1/an=3·2^(n-1)-(-1)^n，即an=1/[3·2^(n-1)-(-1)^n]。
(2) bn=1/an=3·2^(n-1)-(-1)^n，
所以Sn=3[1+2+2²+…+2^(n-1)]-[-1+1-…+(-1)^n]=3(2^n-1)+[1-(-1)^n]/2=3·2^n-[5+(-1)^n]/2。