Due to work and family commitments , 。。。。 。。。

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that only vigorous exercise or playing sport counts as healthy activity 是具体说明belief 的提问与从句，其结构为——
主语：only vigorous exercise or playing sport 充满活力的活动或进行体育运动
谓语动词：counts as算作
宾语：healthy activity增进健康的活动
（按语法严格地说，counts应该是谓语动词，as healthy activity是方式状语）
【注：count as 是一个固定搭配，表示“把...当作/视为”】
in 表示“以…方式” （用抽象名词或物质名词作介词宾语）， 此处的 in mistaken belief 是修饰 give up 的方式状语，意思是“以错误的想法（观点/看法）放弃”。另如in English (用英语)，in cash (以现金)，in chalk （用粉笔）
除了表示“在…内”，in还常用来表示以下几个概念：
在…方面：如 a life in politics政治（方面的）生涯； the officer in command 指挥（方面的）官员
以某种风格或形式：如 a poem in iambic pentameter 以五音步抑扬格写成的诗，slogan in red 红笔写的标语
具有某种特征、品质或属性：如 a tall man in an overcoat 穿着大衣的一个高大男人
以某种方式：如 pay in cash 以现金支付，arrange in alphabetic order 按字母顺序排列
用…比率：save only one in ten 只节省了十分之一，small in size 尺寸小; 体积小
在…情况下，如in good condition 情况良好，go out in the rain 冒雨外出，recuperate in hospital住院疗养
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由于工作和家庭责任，许多人在只有高强度的运动或体育运动才是有益健康的活动的错误观念的误导下放弃运动习惯。count这里是不及物动词，表示：有意义，有价值；，as作为；in表示在...里，在...状态下；后面的that引导belief同位语。