如图，在△ABC中，D，E分别是AB,AC上的点，BE，CD交于点F，∠ABE=∠ACD，AE=AD，求证：DF=EF

证明：
∵AD＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠CAD
∴△ABE≌△ACD （AAS）
∴AB＝AC
∵BD＝AB-AD，CE＝AC-AE
∴BD＝CE
∵∠BFD＝∠CFE
∴△BFD≌△CFE （AAS）
∴DF＝EF

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证明：在ΔABE和ΔADC中；
∠A=∠A；
AD=AE
∠ABE=∠ACD；
ΔABE≌ΔADC(ASA)
∴AB=AC,∠ADF=∠AEF,∴∠BDF=∠CEF
;又∵AD=AE，∴BD=CE
在ΔDBF和ΔDCE中；
DB=CE；∠BDF=∠CEF；∠DFB=∠EFC；
∴ΔDFB≌ΔEFC(AAS)
∴DF=EF

因为AE=AD,角ABE=角ACD,角A为公共角，则角AEB=角ADC,所以三角形ABE与ACD全等，则AB=AC,又AE=AD,所以BD=CE,而角ABE=角ACD,角BFD=角CFE,则角BDF=角CEF，所以三角形BDF与三角形CEF全等，所以DF=EF。

因为,∠ABE=∠ACD,AE=AD，∠A=∠A，所以△ABE全等于△ACD。所以AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，所以∠FBC=∠FCB因为∠FBC=∠FCB，所以BF=CF，因为∠DFB=∠EFC，所以△DFB全等于△EFC所以DF=EF