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若a1,a2,a3线性无关，证明a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关

2025-02-24 20:11:44

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回答1：

证明:

假设a1+a2，a2+a3，a3+a4线性相关
则存在不全为0的k1,k2,k3
st.
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)=0
)a1+(k2+k1)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0
k1,k2,k3不全为0
则k1+k2,k2+k3,k3+k4,k4+k1不全为0
所以
a1,a2,a3线性相关,
与题意矛盾
所以
a1+a2，a2+a3，a3+a1，线性无关

回答2：

反证法:
设a1+a2,a2+a3,a3+a1相关,则有不全为0的数A,B,C使,
A(a1+a2)+B(a2+a3)+C(a3+a1)=0,
即(A+C)a1+(A+B)a2+(C+B)a3=0,由a1,a2,a3无关
所以A+C=0,A+B=0,B+C=0.
则A=B=C=0,与不全为0的数A,B,C矛盾.
所以a1+a2,a2+a3,a3+a1无关.