22⼀7是无限不循环小数还是无限循环小数

有理数的概念：有理数由整数和分数组成。
推论：任意一个有理数，都可以化成一个不可约分数，p/q,(p,q)=1,p,q∈Z[最大公约数为1，即互质，不可约]。

显然你的问题是如果已经知道一个有理数p/q,(p,q)=1,p,q∈Z，如何判断p/q是不是循环小数

其实挺简单的，若q是10的约数(2.5,10)的约数倍，即有(2,5,10)经过有限次乘运算能得到的，那么p/q是一个不循环小数，否则就是无限循环小数。

现在证明一下：
我先证明有理数的运算是封闭的，即有理数的加减乘除是有理数。
令两个有理数，a/b,(a,b)=1 p/q,(p,q)=1,a,b,p,q∈Z
a/b+p/q=(aq+bp)/bq这可能是一个可约分数，但一定可以表示成一个不可约分数,只要上下同时除以(aq+bo,bq),同理，它们的差(aq-bp)/bq,积ab/bq，商aq/bq可能是一个可约分数，但一定可以表示成一个不可约分数,所以，有理数的运算是封闭的。
然后证明你的命题：
1.把p分解质因数 q=2^n*5^m*x^y，x表示除2,5外的因数之积，若y=0，则p/q=10^(n+m)/10^(n+m)*2^n*5^m=1/10^(n+m)*2^m*5^n,是不循环小数
2.若y≠0，即q含有除2,5外的因数，那么假定p/q的余数是r,即p不能整除q,只要证明p*10^n也不能整除q,就能证明p/q不是不循环小数，而它又是一个分数，那么只能是无限循环小数，对与这个问题“证明p*10^n也不能整除q”，我用数学归纳法.
(1)当n=0时，余数是r,不能整除
(2)当n=k时，假定余数是s
(3)当n=k+1时,p*10^(k+1)/q=p^k/q*10，余数是10s，或者说和10s同余，但是10s显然不可能和0同余，因为q中含有除2,5外的因数，但无论s,10都不含有除2,5外的因数，所以10s不和0同余，仍然存在余数
(4)综上，无论经过多少次运算，仍然存在余数，所以它有限循环小数

至于是否是无限不循环小数，只要先把无理数化简，然后如果最简形式仍然存在无理数，那就是无限不循环小数。

我们还可以证明无限循环小数可以表示成分数形式，也即无限循环小数为分数。
令一个无限循环小数的小数部分为：S=0.a1a2..ana1a2..an...，即以序列a1a2..an无限循环。令k=0.a1a2...an，那么S=k+k/10^n+k/10^2n+...
再令ai=k/10^[(i-1)*n] S=lim(n→+∞)∑ai=a1*(1-q^i)/1-q=a1/1-q=a1/1-1/10^n，而a1=k 所以S=k/(1-1/10^n)=10^nk/(10^n-1)=a1a2a3...an/10^n-1，这可能是一个可约分数，但一定可以表示成一个不可约分数，所以，无限循环小数为分数（有理数）,而若一小数为S1=x.b1b2..bna1a2..ana1a2..an,即，不是从一开始就循环，那么不循环部，一定可以表示成b1b2b3...bn/10^n,一定是一个不可约分数，相加一定可表示成一个不可约分数，
无限循环小数

无限循环小数 是3.1313131313

无限循环小数，3.142857142857142857142857~~~

3.142857142857这说明这是无限循环小数。

无限循环小数
结果是：3.142587循环