无穷级数。用比较判别法或其极限形式判断敛散性。

分情况讨论，当a<1时是发散，因为一般项等于1，当a=1时∑1/(1+a^n)=n/2显然发散

当a>1时，可以用放缩的方法进行等比数列的求和可证其级数收敛

∴当a≤1时级数发散，当a>1时级数收敛

简单计算一下即可，答案如图所示

　　无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和；发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和方法，如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。可用无穷级数方法求和的包括：数项级数、函数项级数（又包括幂级数、傅氏级数；复变函数中的泰勒级数、洛朗级数。
　　正项级数及其敛散性
　　如果一个无穷级数的每一项都大于或等于0，则这个级数就是所谓的正项级数。
　　正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：
　　正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。
　　有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。
　　比较审敛法
　　⑴一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都小于或等于一个已知收敛的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定收敛。
　　⑵反之，一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都大于或等于一个已知发散的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定发散。
　　如果说逐项的比较还有些麻烦的话，可以采用如下的极限形式：对于正项级数
　　和 ，如果 ，即它们的通项的比趋向于一个非0的有限值，那么这两个级数具有相同的敛散性。