如何求隐函数的二阶偏导数?

求隐函数的二阶偏导的方法：

例如求二元隐函数 z=f(x,y) 的二阶偏导

1，先求该函数的一阶偏导,把Z看作常数对X求偏导"，即令 F(x,y,z)=f(x,y)-z,F'=∂f/∂x,F'=∂f/∂y,F'=-1,则∂z/∂x=-F'/F'=∂f/∂x,∂z/∂y=-F'/F'=∂f/∂y,注意,这里是 F(x,y,z) 求一阶偏导数时,是把Z看作常数,将 F(x,y,z) 分别对X,y求偏导。

2，再对 z(x,y) 求二阶偏导,即把 ∂z/∂x,∂z/∂y 再分别对x,y求偏导时,因 ∂z/∂x,∂z/∂y 都是 x,y的函数,自然要把Z,∂z/∂x,∂z/∂y 都看作X和Y的函数。

扩展资料：

高等数学指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。工科、理科研究生考试的基础科目。

隐函数的二次求导其实就是在隐函数求导一次的基础上，再次进行求导。

设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且, ，则方程=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有

一次求导:  

二次求导：

扩展资料：

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。

F(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。

参考资料：

隐函数求导法则

例子见下图

首先对方程求z对x的偏导数,利用方程式求出z对x的偏导数。

然后在之前求出的等式上再求对x的偏导数，然后利用（1）求出的，即可解出。

拓展资料：

隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。设F（x,y）是某个定义域上的函数。如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数。记为y=y(x)。 显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的。

先求隐函数的一阶偏导数，再求一阶偏导数的偏导数，就是一阶一阶地求，就可以求出二阶偏导数了。

如果定义在开集  上的函数  的一阶偏导数关于某个变量可偏微分，就能作出二阶偏导数。同样能定义  阶偏导数。我们即将一阶以上的偏导数称为高阶偏导数。将这些高阶偏导数记为   ：

拓展资料：

例1 ：求函数  的所有二阶偏导数和  .

解 由于函数的一阶偏导数是因此有

和

例2：求函数  的所有二阶偏导数。

解： 因为所以二阶偏导数为

参考资料：

高阶偏导数  百度百科

步骤如下：

1、在方程两边先对X求一阶偏导得出Z关于X的一阶偏导,然后再解出Z关于X的一阶偏导。

2、再在原来求过一阶偏导的方程两边对X再求一次偏导。此方程当中一定既含有X的一阶偏导,也含有二阶偏导。最后把1中解得的一阶偏导代入其中,就能得出只含有二阶偏导的方程，解出即可。

3、举例：

4、解答：

1）先求dz/dx，两边对x求偏导，2z*dz/dx-y+dz/dx=0，dz/dx=y/(2z+1)；

2）再求dz/dy，同理，dz/dy=x/(2z+1)；

3）再一次求偏导，d^2z/dxdy=d/dx(dz/dy)=d/dx[x/(2z+1)]

dx/dx *(2z+1) - x*d(2z+1)/dx
= ----------------------------------------------
(2z+1)^2

(2z+1)^2- 2xy
= ----------------------
(2z+1)^3

拓展资料：

1、在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

2、偏导数的表示符号为:∂，偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

3、在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

4、在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

5、在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x,y) 的变化率。

参考资料：百度百科-偏导数