求旋转抛物面z＝x^2+y^2与平面x+y-z＝1之间的最短距离。

当抛物面z=x^2+y^2上某点G处的切平面和平面x+y-z=1平行时,二者间的距离最短,最短距离为切平面和平面x+y-z=1之间的距离,也即是G到平面x+y-z=1的距离.
抛物面z=x^2+y^2上G处的法向量为(2x,2y,-1),平面x+y-z=1的法向量为(1,1,-1),前述的两个平面平行,等价与这两个平面的法向量平行,即有：
2x/1=2y/1=-1/(-1),得x=1/2,y=1/2,进而得到z=x^2+y^2=1/2,
即得G坐标(1/2,1/2,1/2).
G到平面x+y-z=1的距离为：sqrt(3)/6.
上一步是套用公式：点（x0,y0,z0）,到直线AX+BY+CZ-D=0的距离为：
(A*x0+B*y0+C*z0-D)的绝对值除以根号下（A^2+B^2+C^2）,
前文中的sqrt表示开方

如图，先求出曲面关于这个平面同样法向量的切平面，找出这个切点，然后得到这个切平面上的切点，最后算出切点到这个平面的距离即可！

对z＝x^2+y^2微分得
dz=2xdx+2ydy,

所以旋转抛物面z＝x^2+y^2在点(x,y,x^2+y^2)处的切平面的法向量是(2x,2y,-1),
令切平面与平面x+y-z＝1平行，得x=y=1/2.
点(1/2,1/2,1/2)到平面x+y-z＝1的距离=|1/2|/√3=√3/6，为所求。
解2点(x,y,x^2+y^2)到平面x+y-z-1=0的距离
=|x+y-x^2-y^2-1|/√3
=|（x-1/2）^2+(y-1/2)^2+1/2|/√3
最小值是√3/6.

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