高数，极限和导数问题

解：错误的原因如下：
由导数的定义可知，
F'（a）=lim（Δx->0）(F(a + Δx) - F(a)) / Δx >0，
显然导数包括左导数与右导数，我们不妨先从右导数考虑，即：
F'（a）=lim（Δx->0+）(F(a + Δx) - F(a)) / Δx >0，（此时Δx从正向趋近于0，即Δx >0）
由极限的局部保号性可知，存在一个ε>0，使得0<Δx<ε时，都有(F(a + Δx) - F(a)) / Δx >0，也就是说F(a + Δx) - F(a）> 0；
该式只能表明在x ∈[a，a+ε)这个区间上时，函数F（x）有最小值F（a）；
同理，当考虑其左导数（即Δx从负向趋近于0）时，
只能得出在x ∈（a-ε，a]这个区间上时，函数F（x）有最大值F（a）；
综上最多只能推出当x1、x2∈（a-ε，a+ε）且x1 > a > x2 时，有F（x1）>F（x2），而不能推出你的结论，即F(x)在a的一个邻域内递增。

从理解上来说，在这个求导取极限的过程中，是将所有x在x=a附近的邻域的函数值与F（a）进行比较，而要得出你的结论，即F'(a)>0则F(x)在a的一个邻域(不妨设为（a-ε，a+ε），ε>0)内递增，那么必须要能够比较在该区间上任意两个函数值的大小，而实际上，例如比较F(a+ε/2)和F(a+ε/3)的大小，而这根据F'（a）> 0是无法得出大小比较的。所以你的结论是错误的；或者说结论太强，可能需要补充更多的条件才能够得出。