图中的三角形称为希尔宾斯三角形,在下列四个三角形中,黑色三角形的个数依次构成数列{an}的前四项,依此

2025-04-07 02:10:10
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回答1:

(1)由图形得:
第2个图形中有3个三角形,
第3个图形中有3×3个三角形,
第4个图形中有3×9个三角形,
以此类推:第n个图形中有3n-1个三角形.
故答案为:an=3n-1
(2)bn=(

2
3
n?an+1=(
2
3
n?3n=2n
∴C
 
+C
 
+C
 
?2+C
 
?22+…+C
 
?219=
1
2
(2C
 
+C
 
?2+C
 
?22+C
 
?23+…+C
 
?220)=
1
2
[1+(1+2)20]=
1
2
×
(1+320),
1
2
×
(1+3)=2,
1
2
×
(1+32)=5,
1
2
×
(1+33)=14,
1
2
×
(1+34)=41,
1
2
×
(1+35)=122,
∴个数数字是2,5,4,1,四个一个周期,
∵20÷4-5,
1
2
×
(1+320)的个数数字为1.
故答案为.(1)3n-1(2)1