191问答库 > 如图，动点M到两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C。

如图，动点M到两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C。

2025-02-27 06:37:59

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回答1：

解：（1）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0 当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）
当∠MBA≠90°时，x≠2，
由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，
化简可得3x² -y² -3=0 而
点（2，±3）在曲线3x² -y² -3=0上
综上可知，轨迹C的方程为3x² -y² -3=0（x＞1）；
（2）直线y=-2x+m与3x² -y² -3=0（x＞1）联立，
消元可得x² -4mx+m² +3=0①
∴①有两根且均在（1，+∞）内
设f（x）=x² -4mx+m² +3，
∴ ，
∴m＞1，m≠2
设Q，R的坐标分别为（x_Q ，y_Q ），（x_R ，y_R ），
∵|PQ|＜|PR|，
x_R =2m+ ，x_Q =2m- ，
∴ = =
∵m＞1，且m≠2
∴ ，且
∴ ，且
∴ 的取值范围是（1，7）∪（7，7+4 ）。