圆有哪些性质

一、圆的定义
(1) 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，点O为圆心，线段OA为半径；
(2) 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
(3) 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。

二．点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
点在圆外 d > r
点在圆上 d = r
点在圆内 d < r

三、与圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段。直径是圆内最长的弦。
弧：圆上任意两点间的部分。(分优弧和劣弧)
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
弦心距：圆心到弦的距离。
圆心角：顶点在圆心的角。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。

四、有关的定理
1．垂径定理及推论：垂直于弦的直径一平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论1:(1)平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

(2)弦的垂直平分线过圆心,平分弧所对的弧.

(3)平分弦所对的一弧的直径垂直平分弦,且平分弦所对的另一条弧.

2．圆心角、弦、弧、弦心距四者关系定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
推论:同圆或等圆中，若两个圆心角，两条弧,两条弦或其弦心距中有一组量相等,那么其余各组量分别对应相等.

3．圆周角定理及其推论：弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等
(2)半圆或直径所对的圆周角是直角,900 的圆周角所对的弦是直径.
(3)如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

4．不在同一直线上的三点确定一个圆。

5．圆内接四边形对角互补，任何一个外角都等于它的内对角。

6．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

五、作图：

作三角形的外接圆：外心是两边的垂直平分线的交点。

六、圆内常见辅助线的添加

1.遇到有弦时,常添加弦心距,以便使用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距的关系.

2.遇到有直径时,常添加直径所对的圆周角

圆的基本性质有：
　　1.圆是轴对称图形,也是中心对称图形．对称轴是任何一条直径所在的直线,对称中心是它的圆心,并且具有绕其圆心旋转的不变性．
　　2.直径所对的圆周角是直角．
　　3.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．
　　4.在同圆或等圆中,两个圆心角和它所对的两条弧、两条弦以及两个弦心距这四组量中,如果其中一组量相等,则其它三组量也都分别相等．
　　5.如果弦长为2a,圆的半径为R,那么弦心距d为．

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D
则有
PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线是得到切线定理PA^2=PC*PD
证明：（令A在P.B之间，C在P.D之间）因为ABCD为圆内接四边形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC与三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD
切线的判定和性质
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言：∵l
⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
∴l
⊥OA（切线性质定理）
推论1
经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）
弦切角
弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言：∵∠BCN所夹的是
，∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论
如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
几何语言：∵∠BCN所夹的是
，∠ACM所对的是
，
=
∴∠BCN=∠ACM
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
4．弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：
（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；
（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；
（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线．
它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可，比如下图中
均不是弦切角．
（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角．它是圆中证明角相等的重要定理之一．
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。