求不定积分∫x⼀√(1+x-x^2)dx

因为被积函数是偶函数，所以最后得到的原函数必定是奇函数。根据对称性，这里首先考虑x>0时的情况。

根据三角函数的基本关系，设x=csc u=1/sin u，因为x>1，所以令u∈(0,π/2)。

那么dx=-cos udu/sin² u，

sqrt(x^2-1)=sqrt(1/sin² u-1)=cot u=1/tan u，

所以原来的积分=∫1/tan u*(-cos u/sin² u)du=-∫cos u/(tan u*sin² u)du

=-∫cos²u/sin³u du

接下来的部分见下图：

设t=cos u，那么t=sqrt(1-sin²u)=sqrt(1-1/x²)=sqrt(x²-1)/x。

因为

所以原来的积分为

把t=sqrt(x²-1)/x代入得到

这是x＞0时候的情况。

当x<0时，-x>0，因此

原函数在-x处的函数值为

根据奇函数的特点，可知当x<0时的函数值为

不定积分∫x/(x^2-x-2 )dx的结果为2/3*ln|x-2|+1/3ln|x+1|+C。

解：因为x/(x^2-x-2)=x/((x-2)*(x+1))，

令x/((x-2)*(x+1))=A/(x-2)+B/(x+1)=(Ax+A+Bx-2B)/((x-2)*(x+1))，

可得A=2/3，B=1/3。那么，

∫x/(x^2-x-2)dx

=∫x/((x-2)*(x+1))dx

=∫(2/(3*(x-2))+1/(3*(x+1)))dx

=2/3*∫1/(x-2)dx+1/3∫1/(x+1)dx

=2/3*ln|x-2|+1/3*ln|x+1|+C

扩展资料：

1、因式分解的方法

（1）十字相乘法

对于x^2+px+q型多项式，若q可分解因数为q=a*b，且有a+b=p，那么可应用十字相乘法对多项式x^2+px+q进行因式分解。

x^2+px+q=(x+a)*(x+b)

（2）公式法

平方差公式，a^2-b^2=(a+b)*(a-b)。

完全平方和公式，a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。

完全平方差公式，a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。

2、不定积分凑微分法

通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C

直接利用积分公式求出不定积分。

3、不定积分公式

∫mdx=mx+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cscxdx=-cotx+C

参考资料来源：百度百科-不定积分

被积函数是分数形式一般要拆分，怎么拆必须公式要熟。

∫x/(x^2-x-2 )dx=∫x/[(x-2)(x+1)]dx=∫[1/(x+1)+2/(x-2 )(x+1)]dx

=∫[1/(x+1)+2/3*[1/(x-2 )-1/(x+1)]dx=∫[1/3(x+1)+2/3(x-2 )]dx

=1/3*ln(x+1)+2/3*ln(x-2)+C   C为常数

拆分规则：在有意义的情况下，是任何一个赋值都会满足的。

因为本身有理式的拆分就是一个恒等式求解的过程，也就是设a(x)=a(x)，那么你无论给左右两边取什么值，只要这个值在a(x)的定义域内，该等式一定成立的。

而且如果不采用赋值法的话，就直接进行同分，最后我们用到的定理叫做多项式恒等定理，效果是一样的。

扩展资料：

求不定积分法：

设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu 。

两边积分，得分部积分公式

∫udv=uv-∫vdu。 

如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v

一般来说，u,v 选取的原则是：

积分容易者选为v，求导简单者选为u。

例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x

分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分。

可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。

∫x/(x^2-2ax+1)dx的不定积分为1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/√(1-a^2)*arctan（(x-a)/√(1-a^2)）+C

解：∫x/(x^2-2ax+1)dx

=1/2*∫(2x-2a+2a)/(x^2-2ax+1)dx

=1/2*∫(2x-2a)/(x^2-2ax+1)dx+∫a/(x^2-2ax+1)dx

=1/2*∫1/(x^2-2ax+1)d(x^2-2ax+1)+∫a/(x^2-2ax+1)dx

=1/2*∫1/(x^2-2ax+1)d(x^2-2ax+1)+a*∫1/((x-a)^2+1-a^2)dx

=1/2*∫1/(x^2-2ax+1)d(x^2-2ax+1)+a/(1-a^2)*∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx

=1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/(1-a^2)*∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx

令(x-a)/√(1-a^2)=tant，则x=√(1-a^2)*tant+a，那么

∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx

=∫1/(sect)^2d(√(1-a^2)*tant+a)

=√(1-a^2)*∫(sect)^2/(sect)^2dt

=√(1-a^2)*∫1dt

=√(1-a^2)*t+C

又(x-a)/√(1-a^2)=tant，则t=arctan（(x-a)/√(1-a^2)），则

∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx

=√(1-a^2)*t+C

=√(1-a^2)*arctan（(x-a)/√(1-a^2)）+C

所以∫x/(x^2-2ax+1)dx

=1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/(1-a^2)*∫1/(((x-a)/√(1-a^2))^2+1)dx

=1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/√(1-a^2)*arctan（(x-a)/√(1-a^2)）+C

即∫x/(x^2-2ax+1)dx的不定积分为：

1/2*ln|(x^2-2ax+1|+a/√(1-a^2)*arctan（(x-a)/√(1-a^2)）+C

扩展资料：

1、不定积分的公式类型

（1）含ax^2±b的不定积分

∫(1/(a*x^2+b))=1/√(a*b)*arctan(√a*x/√b)+C

（2）含a+bx的不定积分

∫(1/(ax+b))=1/b*ln|ax+b|+C、∫(x/(ax+b))=1/b^2*(a+bx-aln|ax+b|)+C

（3）含x^2±a^2的不定积分

∫(1/(x^2+a^2))=1/a*arctan(x/a)+C、∫(1/(x^2-a^2))=1/(2a)*ln|(x-a)/(x+a)|+C

2、不定积分的求解方法

（1）换元积分法

例：∫e^(2x)dx=1/2∫e^(2x)d(2x)=1/2*e^(2x)+C

（2）积分公式法

例：∫e^xdx=e^x、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C

（3）分部积分法

例：∫x*e^xdx=∫xd(e^x)=x*e^x-∫e^xdx=x*e^x-e^x=(x-1)*e^x

3、常用的积分公式

∫(secx)^2dx=tanx+C、∫1/(x^2+x+1)d(x^2+x+1)=ln|x^2+x+1|+C、积分5dx=5x+C

参考资料来源：百度百科-不定积分

参考资料来源：百度百科-积分公式

被积函数是分数形式一般要拆分，怎么拆必须公式要熟。

∫x/(x^2-x-2 )dx=∫x/[(x-2)(x+1)]dx=∫[1/(x+1)+2/(x-2 )(x+1)]dx
=∫[1/(x+1)+2/3*[1/(x-2 )-1/(x+1)]dx=∫[1/3(x+1)+2/3(x-2 )]dx
=1/3*ln(x+1)+2/3*ln(x-2)+C C为常数