可积不一定存在原函数 ，原函数存在不一定可积举个例子说明下

1.
Riemann可积不一定存在原函数.
f(x)存在原函数,
即存在可导函数F(x),
使f(x)
=
F'(x)对定义域内的任意x成立.
可以用Lagrange中值定理证明:
若F(x)在一个区间上处处可导,
则导函数F'(x)在该区间内没有第一类间断点.
基于如上观察,
可以构造如下例子:
取f(x)
=
0,
当0
≤
x
<
1/2,
取f(x)
=
1,
当1/2
≤
x
≤
1.
f(x)在[0,1]上有界,
且只有一个间断点x
=
1/2,
因此f(x)在[0,1]是Riemann可积的.
但是x
=
1/2是f(x)的第一类间断点,
因此f(x)在[0,1]没有原函数.
如果取F(x)
=
∫{0,x}
f(t)dt,
会发现F(x)在x
=
1/2处是不可导的,
f(x)
=
F'(x)在该点不成立.
2.
原函数存在不一定Riemann可积.
在闭区间[a,b]上Riemann可积需要两个方面的条件:
有界性和连续性(不连续点是零测集).
从前者入手比较容易:
在x
≠
0处,
取F(x)
=
x^(4/3)·sin(1/x),
则F'(x)
=
-cos(1/x)/x^(2/3)+4x^(1/3)·sin(1/x)/3.
在x
=
0处,
取F(0)
=
0,
则F'(0)
=
lim{x
→
0}
F(x)/x
=
lim{x
→
0}
x^(1/3)·sin(1/x)
=
0.
F(x)处处可导.
且对任意正整数k,
F'(1/(2kπ))
=
-(2kπ)^(2/3),
因此F'(x)在0的任意邻域内无界.
于是f(x)
=
F'(x)在[-1,1]上存在原函数,
但不是Riemann可积的(因为不是有界的).
实际上,
存在F(x)在R上处处可导,
导数有界,
但导数不是Riemann可积的(导数的不连续点不零测).
构造比较复杂,
参考链接(只找到英文的):
http://en.wikipedia.org/wiki/Volterra's_function