证明直角三角形a^2+b^2=c^2

勾股定理的种证明方法（部分）

【证法1】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. 

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180°;―90°;= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形. 

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°;.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°;. 

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°;，∠BCP = 90°;，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

∴ .

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N. 

∵ ∠BCA = 90°;，QP∥BC，

∴ ∠MPC = 90　°　∵ BM⊥PQ，　　∴ ∠BMP = 90°　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°　　∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90°;，∠BCA = 90°;，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（赵浩杰证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB = ∠CFD = 90°;，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ=90 °;,

∴∠ABG +∠CBJ=90 °;,

∵∠ABC= 90°　　∴G,B,I,J在同一直线上，

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法8】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L. 

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =.

同理可证，矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积 

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ ，即 .