解答：（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△BEP≌△C1CP，E是BB1的中点，
∴
＝CP PE
＝2 1
，CQ BQ
∴PQ∥EB∥C1C，
∵CC1?平面A1PQ，PQ?平面A1PQ，
∴CC1∥平面A1PQ；
（2）解：由（1）知，PQ∥C1C，
∴PQ∥AA1，
∴BC⊥平面A1PQA，
∴BC⊥AQ．
∵∠BAC=90°，CQ=2QB，
∴AC=2
，AQ-
2
．2
6
3
延长QP与C1B相交于点H，连接A1H，A1Q，则
∵CC1⊥AQ，∴AQ⊥平面BCC1B1，
∵PQ∥AA1，HQ∥AA1，
∴四边形A1AHQ是平行四边形，
∴A1H∥AQ，
∴A1H⊥平面BCC1B1，
∴直线A1Q与平面BCC1B1所成角为∠A1QH，
∴cos∠A1QH=
=QH
A1Q
=QH
AQ2+AA12
．
15
5
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