如何证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程至少有一实根

不妨假设该方程，最高次系数是正数。 

然后证明，x—>+∞，f(x)—>+∞,由极限保号性，必定存在一个数x1，使得f(x1)>0。

类似，x--->-∞，f(x)--->-∞存在x2,有f(x2)<0。

那么，因为代数方程是连续的，在x1,x2中间这段区间上，一定存在f(x)=0的解。

拓展资料

代数方程，即由多项式组成的方程。有时也泛指由未知数的代数式所组成的方程，包括整式方程、分式方程和根式方程。

例如：5x+2=7，x=1等。 代数，把algebra翻译成代数，就是用字母代替数的意思，继而推广。随着数学的发展，内在涵义又推广为用群结构或各种结构来代替科学现象中的各种关系。也就是说“代数”本质是个“代”字，通过研究各种抽象结构“代替”直接研究科学现象中的各种关系。

不妨假设该方程，最高次系数是正数。 然后证明，x—>+∞，f(x)—>+∞,由极限保号性，必定存在一个数x1，f(x1)>0，类似，x--->-∞，f(x)--->-∞存在x2,有f(x2)<0。那么，因为代数方程是连续的，在x1,x2中间这段区间上，一定存在f(x)=0的解。
还有一种方法，复数域上任一最高次幂的指数为n的代数方程必有n个根，但是复根必定是成对存在的（x是方程的根，x的共轭也一定是方程的根），所以奇数个根中至少有一个是实根

不妨假设该方程，最高次系数是正数。 然后证明，x—>+∞，f(x)—>+∞,由极限保号性，必定存在一个数x1，f(x1)>0，类似，x--->-∞，f(x)--->-∞存在x2,有f(x2)<0。那么，因为代数方程是连续的，在x1,x2中间这段区间上，一定存在f(x)=0的解。