如何证明三角形重心的性质？

重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。
求证：F为AB中点. 三角形重心
证明：侍衡根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再老败做应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。
重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之枯模比为2：1.
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分. 证明：刚才证明三线交一时已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形ABC中，D为AC边上中点，E为AB边上中点，连接BD，CE，DE。BD，CE交于点O。找到OB，OC的中闷陆点G，H，连接GH。这样DE，GH分别为汪差三角形ABC，OBC的中位线。所以DE，GH都平行且等于BC的一半。于是DGHE为平行四边行。所以BG等于GO，于是也等于OE，即OE等于二分之一BE。所以重心把中线以1：2分割。 证明就这些，可惜蚂陵顷不能插图。

向量法比较简单。重心G就是(A+B+C)/3，坦拿岩中线的两端分别是A和M=(B+C)/2，重心离两端的距离分别为敏态：
|AG|=|A-G|=|(2A-B-C)/3|；
|GM|=|G-M|=|(2A-B-C)/6|；
所让御以是1：2分割。

太复杂了

hio;