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1、公司不签订劳动合同的做法是违法的。
根据劳动合同法规定，用人单位自用工之日起一个月内与劳动者签订劳动合同，未在规定时间签订劳动合同的，自用工满一个月的次日起向劳动者支付双倍的工资。你姐姐工作5个月了，可以就其工作的四个月主张双倍工资。
2、公司让你姐回家，每个月支付50％工资的做法是错误的。劳动合同在有效期内，用人单位应当全额支付工资。公司的做法属于克扣员工工资。你姐可以向劳动监察大队进行投诉，请求处理。
3、公司解除劳动合同的做法是错误的。因为没有签订劳动合同，所以无法确定劳动合同的试用期长短。在没有书面劳动合同的情形下是否有试用期、试用期长短问题，劳动法没有明确规定。个人认为，试用期长短主要由双方约定，只要不违法劳动法规定，都为有效。在没有签订合同的情况下，就由用人单位举证证明试用期长短。这里，你姐姐的试用期最多为一个月。现在已经工作了5个月，公司解除劳动合同的，需要提前30天通知，或额外支付一个月工资。然后进行经济补偿。
综上所述，你姐姐可以要求：1、补发每个月少发的50％工资；2、要求就四个月的工作时间支付双倍的工资；3、请求额外支付一个月工资，并请求半个月工资的经济补偿。以上总计5.5个月工资，外加少发的50％工资。
仲裁所需材料：劳动合同、每月工资数额证据、工作时间长短证据。其他的材料，劳动局会告诉你怎么补充。

事实劳动关系成立并在今年1月1日起不签劳动合同用工，可向单位发给百分之二百的补偿金。

联合其他人提请集体仲裁，到目前工作的时间为止（1年内）能得到2个月工资的赔偿，并且得到另50%/月的补偿。

应该申请劳动仲裁，赔偿的项目很多，你看下我给你的留言。