已知函数f（x）=-alnx+2a2x+x（a≠0）（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）））处的切线与直线x-2y=0垂直

（I）由已知可知f（x）的定义域为{x|x＞0}
f‘(x)＝?

a

x

?

2a2

x2

+1（x＞0）
根据题意可得，f′（1）=2×（-1）=-2
∴-a-2a²+1=-2
∴a=1或a=-

3

2

（II）∵f‘(x)＝?

a

x

?

2a2

x2

+1=

(x+a)(x?2a)

x2

①a＞0时，由f′（x）＞0可得x＞2a
由f′（x）＜0可得0＜x＜2a
∴f（x）在（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调递减
②当a＜0时，
由f′（x）＞0可得x＞-a
由f′（x）＜0可得0＜x＜-a
∴f（x）在（-a，+∞）上单调递增，在（0，-a）上单调递减
（III）由（II）可知，当a∈（-∞，0）时，函数f（x）的最小值f（-a）
故g（a）=f（-a）=-aln（-a）-3a
则g′（a）=-ln（-a）-4
令g′（a）=0可得-ln（-a）-4=0
∴a=-e^-4
当a变化时，g’（a），g（a）的变化情况如下表

∴a=-e^-4是g（a）在（-∞，0）上的唯一的极大值，从而是g（a）的最大值点
当a＜0时，g(a)max＝g(?e?4)=-e^-4
∴a＜0时，g（a）≤-e^-4．