191问答库 > 一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）

一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）

2025-03-02 00:02:43

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回答1：

（Ⅰ）一次摸奖从n+5个球中任选两个，有C_n+5²种，它们等可能，其中两球不同色有C_n¹C₅¹种，一次摸奖中奖的概率p＝

10n

(n+5)(n+4)

．
（Ⅱ）若n=5，一次摸奖中奖的概率p＝

5

9

，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是P3(1)＝
C
?p?(1?p)2＝

80

243

．
（Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P=P₃（1）=C₃¹?p?（1-p）²=3p³-6p²+3p，0＜p＜1，P'=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），知在(0，

1

3

)上P为增函数，在(

1

3

，1)上P为减函数，当p＝

1

3

时P取得最大值．又p＝

10n

(n+5)(n+4)

＝

1

3

，解得n=20．
答：当n=20时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．