n属于正整数,求证1⼀(n+1)+1⼀(n+2)~~+1⼀2n<3⼀4

令左边＝A，则倒序相加得到
2A＝
（1/(n+1)+1/(n+2)~~+1/2n）
+（1/(2n) +1/(2n-1)+……+1/(n+1))
可以证明：1/(n+k)+1/(n+n-k+1)<1/(n+1)+1/(2n);k=2,3,4,……n-1;
(通分，两边分子相同，前者分母减后者分母>0）
所以2A所以A〈3/4

令s(n)=1/(n+1)+1/(n+2)~~+1/2n,则
s(n+1)-s(n)=1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)=1/(2n+1)-1/(2n+2) > 0
即s(n)是递增数列。
令A＝lim s(n)=1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+``````
B=(1/4-1/5)+(1/6-1/7)+``````
则 A+B=1/2+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+`````=5/6
因为（1/n-1/(n+1))-(1/(n+1)-1/(n+2)) > 0,故
B > (1/5-1/6)+(1/7-1/8)+`````=C
则
5/6=A+B > A+C=1/2+1/3-1/4+C+C
C< 1/8
A=1/2+1/3-1/4+C<1/2+1/3-1/4+1/8=17/24<18/24=3/4

首先有如下不等式
1/(n+1)+1/2n<2*1/[n+(n/2)]
1/(n+2)+1/(2n-1)<2*1/[n+(n/2)]
……
也就是说‘前后’对应两项之和小于‘中间项’
上面的式子可以直接验证，也可以这样想‘数列1/n越到后面越挤在了一块’
于是有
1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n而n*1/[n+(n/2)]=2/3
因此1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n<2/3<3/4

构造函数f(x)=1/x
1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n=f(n+1)+f(n+2)+…+f(2n)
在纸上画出f(x)=1/x的函数可知：

f(n+1)+f(n+2)+…+f(2n)f(x)从n+1到2n的积分=ln(2n)-ln(n+1)=ln[2n/(n+1)]故：f(n+1)+f(n+2)+…+f(2n)<3/4
得证