求∫（arcsinx)^2dx=？

令arcsinx=t x=sint
∫（arcsinx)^2dx
=∫t^2costdt
=∫t^2dsint
=t^2sint-2∫tsintdt
=t^2sint+2∫tdcost
=t^2sint+2(tcost-∫costdt)
=t^2sint+2(tcost-sint)
∫（arcsinx)^2dx=x(arcsinx)^2+2(arcsinxcos(arcsinx)-x)

令x=sint,t∈（-Pi2,Pi/2]
则arcsinx=arcsin(sint)=t
∫（arcsinx)^2dx
=∫t^2dsint
=∫t^2(sint)'dt
=t^2*sint-∫2tsintdt
=t^2*sint+2∫t(cost)'dt
=t^2*sint+2tcost-2∫costdt
=t^2*sint+2tcost-2∫dcost
=t^2*sint+2tcost-2cost
中间用了两次分部积分法
然后再代回去
∫（arcsinx)^2dx=
=(arcsinx)^2*x+2arcsinx*(1-x^2)^0.5-2*(1-x^2)^0.5

∫ (arcsinx)² dx= x(arcsinx)² + 2√(1 - x²)arcsinx - 2x + C。（C为积分常数）

解答过程如下：

∫ (arcsinx)² dx

= x(arcsinx)² - ∫ x * 2arcsinx * 1/√(1 - x²) dx

= x(arcsinx)² - ∫ (2x)/√(1 - x²) * arcsinx dx

= x(arcsinx)² + ∫ arcsinx * 2/[2√(1 - x²)] d(1 - x²)

= x(arcsinx)² + 2∫ arcsinx d√(1 - x²)

= x(arcsinx)² + 2√(1 - x²)arcsinx - 2∫ √(1 - x²) d(arcsinx)

= x(arcsinx)² + 2√(1 - x²)arcsinx - 2∫ √(1 - x²) * 1/√(1 - x²) dx

= x(arcsinx)² + 2√(1 - x²)arcsinx - 2x + C

扩展资料

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C