数学难题:求任意点以任意一次函数为对程轴的对称点的坐标

1、考点及解析。
本题考查点关于直线的对称点的坐标的求法。
方法可以是先求出过已知点且与所给直线垂直的直线方程，再将所求出的直线与所给直线方程联立解出x和y，得到两条直线的交点，最后根据中点坐标公式，求出对称点的坐标。
2、举例及具体解答过程。
设点M(1,1)，给定直线AB解析式是y=x+2, 求出M关于直线AB的对称点P。
解：
与直线AB垂直的直线斜率是k=-1，则与直线AB垂直、过M的直线是：
y-1=-(x-1), 即y=-x+2
再将该直线方程与直线AB方程联立，求出交点坐标：
-x+2=x+2, 解得x=0
则y=0+2=2
故交点坐标是(0,2)
由中点坐标公式可得：
Px=0×2-1=-1， Py=2×2-1=3
故 M关于直线AB对称点P的坐标是(-1,3)

已知直线是AB的中垂线，所以AB的斜率是-1/k，B(x,y)满足y=-(x-m)/k+n，然后在直线上任取一点P（比如(0,b)），解方程PB=PA即得B的坐标。

补充：
这么简单的问题，做法都告诉你了，只不过解个二次方程而已。。。
PA=PB的方程是x^2+(y-b)^2=m^2+(n-b)^2
把y=-(x-m)/k+n代进去，在已知一个解是x=m(这个当然要舍掉)的情况下很容易由Vieta定理得到另一个解
x=(m-2kb+2kn-mk^2)/(1+k^2)
y=(-n+2b+2km+nk^2)/(1+k^2)

jsl911 属于乱来
riyeyan 写的kAB*k=1也错了，外加后面的方程解错。
卩丶炫灬无敌 则是抄袭加捣乱

设对称点为(x,y)
则有AB垂直于一次函数对应直线

kAB*k = 1或-1

|(y-m)/(x-n)| = 1;
且点A到直线的距离与点B到直线的距离相等

|mk+ b-n|/√(k^2 + 1) = |xk+ b-y|/√(k^2 + 1)

联立两式，可解得

x = -(2*n-m*k-m)/(-1+k)
y = -(n+k*n-2*m*k)/(-1+k)

或者
x = m*(-1+k)/(1+k)
y = (n+k*n-2*m*k)/(1+k)
或者

x = (2*n-m*k-m)/(1+k)
y = n*(-1+k)/(1+k)

或者
x = -m
y = -n

这时，就应该依条件舍去不可能的解

设对称点为(x,y)
则有AB垂直于一次函数对应直线

kAB*k = 1或-1

|(y-m)/(x-n)| = 1;
且点A到直线的距离与点B到直线的距离相等

|mk+ b-n|/√(k^2 + 1) = |xk+ b-y|/√(k^2 + 1)

联立两式，可解得

x = -(2*n-m*k-m)/(-1+k)
y = -(n+k*n-2*m*k)/(-1+k)

或者
x = m*(-1+k)/(1+k)
y = (n+k*n-2*m*k)/(1+k)
或者

x = (2*n-m*k-m)/(1+k)
y = n*(-1+k)/(1+k)

或者
x = -m
y = -n

这时，就应该依条件舍去不可能的解

设对称点为(x,y)
则有AB垂直于一次函数对应直线

kAB*k = 1或-1

|(y-m)/(x-n)| = 1;
且点A到直线的距离与点B到直线的距离相等

|mk+ b-n|/√(k^2 + 1) = |xk+ b-y|/√(k^2 + 1)

联立两式，可解得

x = -(2*n-m*k-m)/(-1+k)
y = -(n+k*n-2*m*k)/(-1+k)

或者
x = m*(-1+k)/(1+k)
y = (n+k*n-2*m*k)/(1+k)
或者

x = (2*n-m*k-m)/(1+k)
y = n*(-1+k)/(1+k)

或者
x = -m
y = -n

这时，就应该依条件舍去不可能的解

设对称点为(x,y)
则有AB垂直于一次函数对应直线

kAB*k = 1或-1

|(y-m)/(x-n)| = 1;
且点A到直线的距离与点B到直线的距离相等

|mk+ b-n|/√(k^2 + 1) = |xk+ b-y|/√(k^2 + 1)

联立两式，可解得

x = -(2*n-m*k-m)/(-1+k)
y = -(n+k*n-2*m*k)/(-1+k)

或者
x = m*(-1+k)/(1+k)
y = (n+k*n-2*m*k)/(1+k)
或者

x = (2*n-m*k-m)/(1+k)
y = n*(-1+k)/(1+k)

或者
x = -m
y = -n

这时，就应该依条件舍去不可能的解

设对称点为(x,y)
则有AB垂直于一次函数对应直线

kAB*k = 1或-1

|(y-m)/(x-n)| = 1;
且点A到直线的距离与点B到直线的距离相等

|mk+ b-n|/√(k^2 + 1) = |xk+ b-y|/√(k^2 + 1)

联立两式，可解得

x = -(2*n-m*k-m)/(-1+k)
y = -(n+k*n-2*m*k)/(-1+k)

或者
x = m*(-1+k)/(1+k)
y = (n+k*n-2*m*k)/(1+k)
或者

x = (2*n-m*k-m)/(1+k)
y = n*(-1+k)/(1+k)

或者
x = -m
y = -n

这时，就应该依条件舍去不可能的解

设对称点为(x,y)
则有AB垂直于一次函数对应直线

kAB*k = 1或-1

|(y-m)/(x-n)| = 1;
且点A到直线的距离与点B到直线的距离相等

|mk+ b-n|/√(k^2 + 1) = |xk+ b-y|/√(k^2 + 1)

联立两式，可解得

x = -(2*n-m*k-m)/(-1+k)
y = -(n+k*n-2*m*k)/(-1+k)

或者
x = m*(-1+k)/(1+k)
y = (n+k*n-2*m*k)/(1+k)
或者

x = (2*n-m*k-m)/(1+k)
y = n*(-1+k)/(1+k)

或者
x = -m
y = -n

这时，就应该依条件舍去不可能的解

B的坐标是（2x-m,2y-n）,函数上有一点是 A，B两点的中点