如何利用数学归纳法验证等差数列

       数学归纳法是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

数学归纳法包含以下几种：      

（一）第一数学归纳法

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（二）第二数学归纳法

对于某个与自然数有关的命题P(n），

（1）验证n=n0，n=n1时P(n）成立；

（2）假设n≤k时命题成立，并在此基础上，推出n=k+1命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（三）倒推归纳法

又名反向归纳法

（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；

（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；

（四）螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），

（1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。

以下列出一个例题供理解：

问：是否存在一个等差数列

{an}，使得对任何自然数n，等式： a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2) 都成立，并证明你的结论．

分析：采用由特殊到一般的思维方法，

先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性． 

这就是说，

当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立； 

综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，

等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立。

希望能够帮助到你~