怎样证明x⼀1+x^2在有理数上是有界函数

2025-01-03 11:21:36

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回答1：

因为(1-x)²>=0, 仅当x=1时取等号
展开：1+x²-2x>=0
得：2x<=1+x²
两边除以2(1+x²)这个正数，得：x/(1+x²)<=1/2, 当x=1时取等号
同理：(1+x)²>=0, 仅当x=-1时取等号
展开：1+x²+2x>=0
得：2x>=-(1+x²)
两边除以2(1+x²)这个正数，得：x/(1+x²)>=-1/2, 当x=-1时取等号
因此x/(1+x²)取值范围在[-1/2, 1/2], 是有界函数。

回答2：

解：
令f(x)=x/(1+x²)
x=0时，f(x)=0/(1+0)=0
x≠0时，f(x)=1/(x+ 1/x)
x>0时，由均值不等式得：x+1/x≥2，当且仅当x=1时取等号
0<1/(x+ 1/x)≤1/2
x<0时，-x>0，由均值不等式得-(x+1/x)≥2，当且仅当x=-1时取等号
x+1/x≤-2
-1/2≤1/(x+1/x)<0
综上，得-1/2≤f(x)≤1/2
即无论x取何有理数，f(x)恒在[-1/2，1/2]上，因此x/(1+x²)在有理数上是有界函数。

知识拓展：其实x/(1+x²)在整个实数集上都是有界函数。