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设矩阵A,B及A+B都可逆，证明A^-1+B^-1也可逆，并求其矩阵

2025-04-05 05:39:14

推荐回答（2个）

回答1：

A^-1+B^-1＝A^-1(A＋B)B^-1，所以，A^-1+B^-1可逆，其逆矩阵是：B(A＋B)^-1A

回答2：

由(A^-1)+(B^-1)=(A^-1)*(A+B)*(B^-1)得
((A^-1)+(B^-1))*(B*((A+B)^-1)*A)=((A^-1)*(A+B)(B^-1))*(B*((A+B)^-1)*A)=I.
(B*((A+B)^-1)*A)*((A^-1)+(B^-1))=(B*((A+B)^-1)*A)*((A^-1)*(A+B)*(B^-1))=I.故(A^-1)+(B^-1)可逆,则((A^-1)+(B^-1))^-1=B*((A+B)^-1)*A