191问答库 > 已知:0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1⼀4

已知:0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1⼀4

麻烦解答,谢谢

2025-03-01 01:08:10

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回答1：

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因为01/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2 即√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2(*)
又因为√((1-a)b)小于等于(1-a+b)/2,√((1-b)c)小于等于(1-b+c)/2,√((1-c)a)小于等于(1-c+a)/2,所以√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)小于等于3/2,这与√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2(*)矛盾,假设不成立,故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4

回答2：

(1-a)b+(1-b)c+(1-c)a
=a+b+c-ab-bc-ca
<=a+b+c-(a^2+b^2+c^2)
=a-a^2+b-b^2+c-c^2
<=3/4
于是得结论