191问答库 > 若函数f（x）=（ax+b）⼀（x^2+1)的值域是【-1，4】求实数a、b的值。

若函数f（x）=（ax+b）⼀（x^2+1)的值域是【-1，4】求实数a、b的值。

2024-11-20 04:34:00

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回答1：

解：-1<=(ax+b)/(x^2+1)<=4，
因为x^2+1>0,
得：1:-(x^2+1)<=ax+b.
2:ax+b<=4(x^2+1).
整理：1:x^2+ax+b+1>=0.
2:4x^2-ax+4-b>=0.
由1得:a^2=4(b+1).
由2得:a^2=16(4-b).
综上得:a=正负4.b=3.

回答2：

求函数y=（ax+b）/（x^2+1)的值域，可以这样求，函数变形得
yx²-ax+(y-b)=0，对这个关于x的方程，有
△=(-a) ²-4y(y-b)≥0，化简得
4y²-4by-a²≤0
以上不等式解出的y的范围，就是值域[-1，4]，
从而可知，-1和4是方程4y²-4by-a²=0的两根。由韦达定理
-1+4=b
-1*4=-a²/4
解这个方程组得
a=±4，b=3