191问答库 > （2014?本溪）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长CA到O，使AO=AC，以O为圆心，OA长为半

（2014?本溪）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长CA到O，使AO=AC，以O为圆心，OA长为半

2025-02-23 21:36:18

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回答1：

（1）证明：连接OD，
∵∠BCA=90°，∠B=30°，
∴∠OAD=∠BAC=60°，
∵OD=OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，
∴∠ADC=∠ACD=

1

2

∠OAD=30°，
∴∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥DC，
∵OD为半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB=4，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴OD=OA=AC=

1

2

AB=2，
由勾股定理得：CD=
OC2?OD2
=
42?22
=2

3
，
∴S_阴影=S_△ODC-S_扇形AOD=

1

2

×2×2

3
-

60π×22

360

=2

3
-

2

3

π．