(1)f′(x)=-3x2+2ax,
由题设,当x∈(0,2)时,f′(x)≥0恒成立,即-3x2+2ax≥0恒成立,
∴2a≥3x恒成立,
∴2a≥6,
∴a≥3
(2)求导函数,可得f′(x)=-3x2+2ax=x(-3x+2a)
a<0时,当x∈(-∞,
a)时,f′(x)<0,x∈(
a,0)时,f′(x)>0,x∈(0,+∞)时,f′(x)<0
∴函数在0处取得极大值,在
a处取得极小值
∵函数满足y
极大=1,y
极小=-3,
∴f(0)=1,f(
a)=-3
∴a=-3,b=1
∴f(x)=-x
3-3x
2+1
(3)当x∈(0,1]时,tanθ=f′(x)=-3x
3+2ax
∵
0≤θ≤,∴0≤f'(x)≤1.
∴0≤-3x
2+2ax≤1在x∈(0,1]恒成立,
由(1)知,当-3x
2+2ax≥0时,a≥
,
由-3x
2+2ax≤1得2a≤3x+
恒成立,
∵3x+
≥2
(当且仅当x=
时,取等号)
∴2a≤2
∴a≤
∴
≤a≤