已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）要使f（x）在（0，2）上单调递增，试求a的取值范围；（2）当

2024-11-15 05:53:49

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回答1：

（1）f′（x）=-3x²+2ax，
由题设，当x∈（0，2）时，f′（x）≥0恒成立，即-3x²+2ax≥0恒成立，
∴2a≥3x恒成立，
∴2a≥6，
∴a≥3
（2）求导函数，可得f′（x）=-3x²+2ax=x（-3x+2a）
a＜0时，当x∈（-∞，

a）时，f′（x）＜0，x∈（

a，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0
∴函数在0处取得极大值，在

a处取得极小值
∵函数满足y_极大=1，y_极小=-3，
∴f（0）=1，f（

a）=-3
∴a=-3，b=1
∴f（x）=-x³-3x²+1
（3）当x∈（0，1]时，tanθ=f′（x）=-3x³+2ax
∵0≤θ≤

，∴0≤f'（x）≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1在x∈（0，1]恒成立，
由（1）知，当-3x²+2ax≥0时，a≥

，
由-3x²+2ax≤1得2a≤3x+

恒成立，
∵3x+

≥2

（当且仅当x=

时，取等号）
∴2a≤2

∴a≤

∴

≤a≤