棱台体积公式推导

体积公式推导

由相似三角形可得b/h1=a/(h1+h2)，所以h1=bh2/(a-b).

V台 = a^2(h1+h2)/3 - b^2*h1/3

=h1(a^2-b^2)/3+h2*a^2/3

=(a+b)*b*h2/3+a^2*h2/3

=（a^2+b^2+ab）*h2/3

体积公式

正四棱台

V=H/3[S1+S2+√(S1S2)]

注：非通用公式,（s1是上底的面积 ，s2是下底的面积 ）

扩展资料：

四棱锥的体积公式推导

在四棱锥上做一个与四棱锥B1-ABCD同底等高的四棱柱A1B1C1D1-ABCD出来，沿底面的对角线BD与棱锥的顶角B1所在的面把四棱锥切开，把四棱锥的问题转化成三棱锥的问题。

这时候，两个三棱柱与两个三棱锥都分别是等底等高。他们的体积是分别相

等的。若能证明三棱锥体积是1/3sh,即可证明四棱锥的体积计算公式1/3sh。

连接A D1之后，发现三棱柱是由三个三棱锥组成，只要证明这三个三棱锥B1-ABD,A-A1B1D1,A-D1B1D体积相等就可以了。

B1-ABD与A-A1B1D1等底等高，所以体积相等。

B1-ABD换个角度看其实就是A-B1BD，A-B1BD与A-D1B1D等底等高，所以体积相等。所以B1-ABD与A-D1B1D体积相等。

也就是说组成三棱柱的这三个三棱锥体积相等，所以三棱锥体积是1/3sh

所以四棱锥的体积计算公式1/3sh。

四棱锥的底面面积S加顶点A'面积0除以2的平均面积1/2S的一个四棱柱乘以高h,就是四棱锥体积：

V=1/3（S+0）h=1/3Sh

参考资料来源：百度百科-四棱台

棱台体积公式推导
用平行棱台底面的平面截棱锥截去一个小棱锥得一个棱台,
且棱台的高h=棱锥的高H-截去的小棱锥的高h1.
设棱台的下底面积,亦棱锥的底面积为s,棱台的上底面积,亦小棱锥的底面积为s1,
由棱锥截面定理有
s1/s=[h1/(h+h1)]^2
得h1/(h+h1)=√s1/√s
h1=h*√s1/(√s-√s1)
棱台的体积=棱锥的体积-截去的小棱锥的体积
=(1/3)*s*H-(1/3)*s1*h1
=1/3[s*(h-h1)-s1*h1]
=1/3[s*h+(s-s1)*h1]
=1/3{s*h+(s-s1)*[h*√s1/(√s-√s1)]}
=(h/3){s+(s-s1)*√s1/(√s-√s1)}
=(h/3){s+(√s+√s1)*√s1}
=(h/3)(s+√s*√s1+s1).