Z=f(x,y)=(6x-x^2)(4y-y^2)求Z的极值

结果为：36

解题过程如下：

f'x=(6-2x)(4y-y²)=0，得x=3或y=0， 4

f'y=(6x-x²)(4-2y)=0，得x=0，6或y=2

得驻点(3，2)，（0，0) ， (0，4)， (6，0)，(6， 4)

A=f"xx=-2(4y-y²)

B=f"xy=(6-2x)(4-2y)=4(3-x)(2-y)

C=f"yy=-2(6x-x²)

在(3，2)，A=-8，B=0，C=-18，B²-AC=-144<0，此为极大值点，极大值为f(3，2)=36

扩展资料

求极值的方法：

若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

求导数f'(x)；求方程f'(x)=0的根；检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。上述所有点的集合即为极值点集合。

在(3,2), A=-8, B=0, C=-18, B²-AC=-144<0, 此为极大值点，极大值为f(3,2)=36

解题过程如下：

f'x=(6-2x)(4y-y²)=0, 得x=3, 或y=0, 4

f'y=(6x-x²)(4-2y)=0, 得x=0, 6, 或y=2

得驻点(3, 2), （0,0) , (0, 4), (6, 0), (6, 4)

A=f"xx=-2(4y-y²)

B=f"xy=(6-2x)(4-2y)=4(3-x)(2-y)

C=f"yy=-2(6x-x²)

在(3,2), A=-8, B=0, C=-18, B²-AC=-144<0, 此为极大值点，极大值为f(3,2)=36;

在(0,0), A=0, B=24, C=0, B²-AC=24²>0, 不是极值点；

在(0,4), A=0, B=-24, C=0, B²-AC=24²>0, 不是极值点；

在(6,0), A=0, B=-24, C=0, B²-AC=24²>0, 不是极值点；

在(6,4), A=0, B=24, C=0, B²-AC=24²>0, 不是极值点。

扩展资料：

多元函数取极值的条件

设函数z=f(x,y)在点（x.,y.）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(x.,y.）,fy(x.,y.）=0,令

fxx(x.,y.)=A,fxy=(x.,y.）=B,fyy=(x.,y.）=C

则f(x,y)在（x.,y.）处是否取得极值的条件是

（1）AC-B*B>0时有极值

（2）AC-B*B

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。

f'x=(6-2x)(4y-y²)=0, 得x=3, 或y=0, 4
f'y=(6x-x²)(4-2y)=0, 得x=0, 6, 或y=2
得驻点(3, 2), （0,0) , (0, 4), (6, 0), (6, 4)
A=f"xx=-2(4y-y²)
B=f"xy=(6-2x)(4-2y)=4(3-x)(2-y)
C=f"yy=-2(6x-x²)
在(3,2), A=-8, B=0, C=-18, B²-AC=-144<0, 此为极大值点，极大值为f(3,2)=36;
在(0,0), A=0, B=24, C=0, B²-AC=24²>0, 不是极值点；
在(0,4), A=0, B=-24, C=0, B²-AC=24²>0, 不是极值点；
在(6,0), A=0, B=-24, C=0, B²-AC=24²>0, 不是极值点；
在(6,4), A=0, B=24, C=0, B²-AC=24²>0, 不是极值点。

简单计算一下即可，答案如图所示