高数求详细解题步骤

二。计算
1。解：复合函数y=3ln(1-x²)；定义域：由1-x²>0，得定义域为-12。解：因为x→0⁻lim[x²sin(1/x)]=0【x→0时sin(1/x)是有界变量，而x²是无穷小量，故极限为0】
x→0⁺lim(xlnx)=x→0⁺lim[(lnx)/(1/x)]=x→0⁺lim[(1/x)/(-1/x²)=x→0⁺lim(-x)=0
即x→0⁻limf(x)= x→0⁺limf(x)=f(0)=0，故f(x)在x=0处连续。
3.求由方程y=1+x²-xe^y所确定的隐函数y的导数dy/dx
解：设F(x，y)=y-1-x²+xe^y=0，那么：
dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(-2x+e^y)/(1+xe^y)=(2x-e^y)/(1+xe^y).
三。计算
1。解：x→0⁻lim[√(1+x²)-1]/x²=x→0⁻lim[x/√(1+x²)]/2x=x→0⁻lim{1/[2√(1+x²)]}=1/2=f(0)
x→3⁺lim[1/(x-2)]=1≠f(3)=2；故该函数左连续，右不连续。【不能说x→3时f(x)的极限不存在，
只能说“右不连续】
2。x≠0时f(x)=x⁴sin(1/x)；x=0时f(x)=0；取△x=x-0=x，
则f '(0)=x→0lim[x⁴sin(1/x)-0]/x=x→0lim[x³sin(1/x)]=0；
f ''(0)=x→0lim[x³sin(1/x)]/x=x→0lim[x²sin(1/x)]=0.
3。【0，1】∫f(x)dx=【0，√3/2】∫dx/√(1-x²)+【√3/2，1】∫2xdx
=arcsinx∣【0，√3/2】+x²∣【√3/2，1】=π/3+1-3/4=π/3+(1/4)
4。解：令2x=(x-4)²，即有x²-10x+16=(x-2)(x-8)=0，故得x₁=2，x₂=8；相应地y₁=-2，y₂=4；
故由y²=2x与y=x-4所围图形的面积:
S=【0，8】∫√(2x)dx-(1/2)×4×4+【0，2】∫∣-√(2x)∣dx+(1/2)×2×2
=[(2√2)/3]x^(3/2)∣【0，8】-8+[(2√2)/3]x^(3/2)∣【0，2】+2=(64/3)-6+(8/3)=26-8=18.
四。计算
1。证明方程x⁵+x-1=0在[0，1]内只有一个实根。
证明：设f(x)=x⁵+x-1；由于f(0)=-1，f(1)=1，故f(x)的图像必在区间(0，1)内至少穿过x轴一次，
因此方程x⁵+x-1=0在区间(0，1)内至少有一个实根。
又因为f '(x)=5x⁴+1≧1>0在f(x)的全部定义域R内恒成立，故f(x)在其全部定义域R内无极值点，
当然在[0，1]内也就没有极值点，故方程x⁵+x-1=0在区间(0，1)内的实根是唯一的。
这就证明了方程x⁵+x-1=0在[0，1]内有且只有一个实数根。
【此问题不能用罗尔定理证明】
2。比较【1，2】∫lnxdx和【1，2】∫ln²xdx的大小。
证明：当1≦x≦2时，0≦lnx<1，故0≦ln²x≦lnx，∴【1，2】∫ln²xdx<【1，2】∫lnxdx.
3。计算由曲线y²=x和曲线y=x²所围图形的面积
解：所围面积S=【0，1】∫[(√x)-x²]dx=[(2/3)x^(3/2)-x³/3]【0，1】=(2/3)-(1/3)=1/3.
4。确定a，b的值，使点(1，3)是曲线y=ax³+bx²+x的拐点，并求出曲线在点(1，3)的切线方程
解：依题意，点(1，3)在曲线上，因此有等式：a+b+1=3...........(1)
y’=3ax²+2bx+1；y''=6ax+2b；已知(1，3)是其拐点，故有等式y''(1)=6a+2b=0.........(2)
(1)(2)联立求解得a=-1，b=3；故y=-x³+3x²+x；y'=-3x²+6x+1；y'(1)=-3+6+1=4；故(1，3)处
的切线方程为y=4(x-1)+3=4x-1，即4x-y-1=0为所求。

题还真多......我放弃了.....

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