高等数学中的一致性连续与一致收敛性，怎么证明？

2025-04-03 00:14:05

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回答1：

这个东西叫做Heine定理。
Heine定理说：假如一个函数f在一个闭区间里，两端有极限，中间连续，那么连续等价于一致连续。
Heine定理的假设里面没有用到f可导，所以我们并不需要导数的知识来证明。
有一定的拓扑知识（紧致性）以后可以给出一个非常短的证明，不过这里给的不假设我们知道这些知识。但是我们还是假设知道Bolzano-Weierstrass定理，这个定理说一个无穷数列在一个闭区间里可以找出一个子数列使得子数列收敛。
我们用反证法。
假如不是一致连续，根据定义我们可以说存在一个a>0，使得对于任意的e>0，都存在x,x'使得|x-x'|a。
取e_n=1/n，于是e_n趋近于0，对于每一个e_n我们都可以找到相应的x_n,x'_n。
根据Bolzano-Weierstrass，存在一个x_n的子数列群收敛于一个在闭区间里的数b。
但是f在b附近连续。所以当很x,x'靠近b的时候，|f(x)-f(x')|应该趋向0。
这和上面说的|f(x)-f(x')|>a矛盾。
证毕。