191问答库 > 高等代数证明:A是M*N矩阵,B是N*P矩阵,R(B)=N,证明:当AB=0时,A=0

高等代数证明:A是MN矩阵,B是NP矩阵,R(B)=N,证明:当AB=0时,A=0

2025-02-22 14:42:04

推荐回答（3个）

回答1：

他们的都做麻烦了~
R(B)=n,说明B的列向量线性无关,Ax=0的至少有n个线性无关的解(因为AB=0,所以B的列向量就是解).
Ax=0解的个数为n-r(A)个,所以n-r(A)>=n,则r(A)=0,于是A=0.

回答2：

简要证明思路
因为r(B)=n(n>=p) , 所以B是行独立矩阵 , 故B= [ I 0 ] C,其中C是可逆p*p阶矩阵.
由A B = 0 ,有 A [ I 0 ] C = [ A 0 ] C =0 ,即 A =0.
另外,楼主也可以从方程组的有关知识得到该结论.
如mscheng19的解决方法也挺简单

回答3：

转置得B^TA^T=0，即B^Tai=0，其中ai是A^T的第i列，因为B^T的秩是n，故B^Tx=0只有零解，因此ai=0，i=1,2,...,m。于是A=0

高等代数 证明:A是M*N矩阵,B是N*P矩阵,R(B)=N,证明:当AB=0时,A=0

高等代数证明:A是MN矩阵,B是NP矩阵,R(B)=N,证明:当AB=0时,A=0