求f（x）＝2sin（x⼀3），x∈〔-π，π）以2π为周期的傅里叶级数。求详解，根据奇偶性，原函数为奇函数...

函数展开成傅里叶级数，只有当给定的函数是定义于（-∞，+∞）的周期函数的时候，展开式才是唯一的，否则展开式并不是唯一的，这点似乎大多数学高等数学的人没有真的弄明白。

如果题目是：将函数f(x)=2sin(x/3)展开成傅里叶级数，答案是唯一的，可以有一个标准答案，结果与标准答案不符合的解法都是错误的；

如果题目是：将函数f(x)=2sin(x/3)在区间（-π，π）展开成傅里叶级数，我们理解为2sin(x/3)只是f(x)在区间（-π，π）内的表达式，在这区间之外，f(x)的表达式不知道，要把f(x)展开成傅里叶级数，先要把它延拓成周期函数，按不同的周期延拓，就会得到不同的展开式，答案不是唯一的，实际上这时答案有无穷多种，如果你仍然按周期为6π展开，没有什么不可以的。

问题是，题目不应该会这样出的，它一定还会给另外的条件使答案唯一，你可能抄题目的时候忽略了这样一个重要的条件。例如题目是：将函数f(x)=2sin(x/3)在区间（-π，π）展开成周期为2π的傅里叶级数，这时展开式就是唯一的了，如果你仍然按6π的周期展开，当然是错误的了，因为没有满足题目的要求。

其实这道题目的意思就是展开成以2派为周期的函数！你的思路很正确，只是忽略了一点，求出的bn并不是为零的！因为sinx/3的周期是6派，而积分区间长度只有2派，所以积分结果并不为零。当m与n不等时，sinmx*sinnx在2派的区间长度内积分为零是因为2派是sinmx和sinnx周期的整数倍（这里默认周期是最小正周期）。所以你只需按这种方法计算出bn就行了